ពហុធា

កំណត់មេគុណ អថេរ និងដឺក្រេនៃឯកធានីមួយៗ ៖

• \(3x^2y^3\) ៖ មេគុណស្មើ \(3\), អថេរគឺ \(x\) និង \(y\), ដឺក្រេស្មើផលបូកនិទស្សន្ត \(2+3 = 5\)។

• \(-5a^4b\) ៖ មេគុណស្មើ \(-5\), អថេរគឺ \(a\) និង \(b\), ដឺក្រេស្មើផលបូកនិទស្សន្ត \(4+1 = 5\)។

• \(\dfrac{2}{3}x^5\) ៖ មេគុណស្មើ \(\dfrac{2}{3}\), អថេរគឺ \(x\), ដឺក្រេស្មើ \(5\)។

• \(-7xy\) ៖ មេគុណស្មើ \(-7\), អថេរគឺ \(x\) និង \(y\), ដឺក្រេស្មើ \(1+1 = 2\)។

គណនាផលគុណនៃឯកធាដោយគុណមេគុណនឹងមេគុណ និងផ្នែកអថេរនឹងផ្នែកអថេរ ៖

• a. \((2x^2y)(-3xy^3) = [2(-3)] \cdot (x^2 \cdot x) \cdot (y \cdot y^3) = -6x^{2+1}y^{1+3} = -6x^3y^4\)

• b. \((-4a^3b^2)\left(-\dfrac{1}{2}ab^4\right) = \left[(-4)\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right] \cdot (a^3 \cdot a) \cdot (b^2 \cdot b^4) = 2a^{3+1}b^{2+4} = 2a^4b^6\)

• c. \((5x^2)(2xy)\left(-\dfrac{1}{10}y^2\right) = \left[5 \cdot 2 \cdot \left(-\dfrac{1}{10}\right)\right] \cdot (x^2 \cdot x) \cdot (y \cdot y^2) = -1 \cdot x^3y^3 = -x^3y^3\)

គណនាស្វ័យគុណនៃឯកធាតាមរូបមន្ត \((ab)^n = a^n b^n\) និង \((a^m)^n = a^{mn}\) ៖

• a. \((-3x^2y)^3 = (-3)^3 \cdot (x^2)^3 \cdot y^3 = -27x^6y^3\)

• b. \((2a^3b^2)^4 = 2^4 \cdot (a^3)^4 \cdot (b^2)^4 = 16a^{12}b^8\)

• c. \(\left(-\dfrac{1}{2}xy^3\right)^2 = \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 \cdot x^2 \cdot (y^3)^2 = \dfrac{1}{4}x^2y^6\)

សម្រួលកន្សោមដោយបូកដកឯកធាដូចគ្នា (រក្សាផ្នែកអថេរទុក រួចគណនាផលបូកមេគុណ) ៖

• a. \(7x^2y - 12x^2y + 8x^2y = (7 - 12 + 8)x^2y = 3x^2y\)

• b. \(5ab^2 - 3ab^2 - 7ab^2 + 4ab^2 = (5 - 3 - 7 + 4)ab^2 = -ab^2\)

ជំនួស \(x = -1\) និង \(y = 2\) ចូលក្នុងកន្សោម \(M = -4x^3y^2\) ៖

កំណត់ដឺក្រេនៃពហុធា ៖

• a. \(P(x) = 5x^4 - 3x^2 + 7x - 9\) ៖ ជាពហុធាមួយអថេរ \(x\) ដែលមាននិទស្សន្តធំបំផុតគឺ \(4\) លើតួ \(5x^4\)។ ដូចនេះ ដឺក្រេនៃ \(P(x)\) គឺ \(4\)។

• b. \(Q(x,y) = 2x^3y^2 - 5x^2y^4 + 8xy\) ៖ ដឺក្រេនៃតួនីមួយៗគឺ ៖ - តួ \(2x^3y^2\) មានដឺក្រេ \(3+2 = 5\) - តួ \(-5x^2y^4\) មានដឺក្រេ \(2+4 = 6\) - តួ \(8xy\) មានដឺក្រេ \(1+1 = 2\) ដោយ \(6\) ធំជាងគេ ដូចនេះ ដឺក្រេនៃពហុធា \(Q(x,y)\) គឺ \(6\)។

ពហុធា \(A(x) = 3x - 5x^3 + 7 - 2x^4 + x^2\) មានដឺក្រេនៃតួនីមួយៗគឺ \(4, 3, 2, 1, 0\)។ រៀបចំតាមលំដាប់ស្វ័យគុណចុះនៃ \(x\) ៖

ពហុធា \(B(x) = 4x^3 - 8 + 2x - x^5\) មានតួតាមដឺក្រេគឺ \(0, 1, 3, 5\)។ រៀបចំតាមលំដាប់ស្វ័យគុណឡើងនៃ \(x\) ៖

គណនាតម្លៃនៃពហុធា \(P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 4\) ៖

• a. ចំពោះ \(x = 2\) ៖

  \[\begin{aligned} P(2) &= 2(2)^3 - 5(2)^2 + 3(2) - 4 \\ &= 2(8) - 5(4) + 6 - 4 \\ &= 16 - 20 + 6 - 4 = -2 \end{aligned}\]

• b. ចំពោះ \(x = -1\) ៖

  \[\begin{aligned} P(-1) &= 2(-1)^3 - 5(-1)^2 + 3(-1) - 4 \\ &= 2(-1) - 5(1) - 3 - 4 \\ &= -2 - 5 - 3 - 4 = -14 \end{aligned}\]

ពហុធា \(P(x) = (a-2)x^3 + (b+1)x^2 + 5x - 7\)។ ដើម្បីឱ្យ \(P(x)\) ជាពហុធាដឺក្រេទី ១ លុះត្រាតែមេគុណនៃតួដែលមានដឺក្រេធំជាង ១ ត្រូវស្មើ \(0\) (មេគុណ \(x^3\) និង \(x^2\) ស្មើ \(0\)) ហើយមេគុណនៃ \(x\) គឺ \(5 \neq 0\) (ពិតជានិច្ច) ៖

គេមាន \(A = 3x^2 - 4x + 5\) និង \(B = 2x^2 + 5x - 7\) ៖

• a. គណនា \(A + B\) ៖

  \[\begin{aligned} A + B &= (3x^2 - 4x + 5) + (2x^2 + 5x - 7) \\ &= (3 + 2)x^2 + (-4 + 5)x + (5 - 7) \\ &= 5x^2 + x - 2 \end{aligned}\]

• b. គណនា \(A - B\) ៖

  \[\begin{aligned} A - B &= (3x^2 - 4x + 5) - (2x^2 + 5x - 7) \\ &= 3x^2 - 4x + 5 - 2x^2 - 5x + 7 \\ &= (3 - 2)x^2 + (-4 - 5)x + (5 + 7) \\ &= x^2 - 9x + 12 \end{aligned}\]

គេមាន \(P = 4x^3 - 2x^2 + x - 3\) និង \(Q = -x^3 + 5x^2 - 4x + 6\) ៖

• a. គណនា \(P + Q\) ៖

  \[\begin{aligned} P + Q &= (4x^3 - 2x^2 + x - 3) \\ &\quad{} + (-x^3 + 5x^2 - 4x + 6) \\ &= 3x^3 + 3x^2 - 3x + 3 \end{aligned}\]

• b. គណនា \(P - Q\) ៖

  \[\begin{aligned} P - Q &= (4x^3 - 2x^2 + x - 3) \\ &\quad{} - (-x^3 + 5x^2 - 4x + 6) \\ &= 4x^3 - 2x^2 + x - 3 + x^3 - 5x^2 + 4x - 6 \\ &= 5x^3 - 7x^2 + 5x - 9 \end{aligned}\]

ជំនួស \(A = x^2 + xy - 3y^2\), \(B = 2x^2 - xy + 4y^2\), \(C = -3x^2 + 5y^2\) ចូល ៖

គណនា \(A - 2B + 3C\) ៖

គណនា \(3(-A + B) + 2C\) ៖

តាមសមភាព \(X + (2x^2 - 3x + 1) = 5x^2 + 4x - 6\) គេទាញបាន ៖

តាមសមភាព \((3x^3 - 5x^2 + 7) - Y = x^3 + 2x^2 - 4x + 3\) គេទាញបាន ៖

បំបាត់វង់ក្រចក រួចផ្គុំតួដូចគ្នា ៖

គណនាផលគុណឯកធានឹងពហុធា ៖

• a. គុណពង្រាយ \(2x(3x^2 - 5x + 4)\) ៖

  \[\begin{aligned} 2x(3x^2 - 5x + 4) &= 2x \cdot 3x^2 - 2x \cdot 5x + 2x \cdot 4 \\ &= 6x^3 - 10x^2 + 8x \end{aligned}\]

• b. គុណពង្រាយ \(-3ab(2a^2 - 4ab + b^2)\) ៖

  \[\begin{aligned} &-3ab(2a^2 - 4ab + b^2) \\ &= -6a^3b + 12a^2b^2 - 3ab^3 \end{aligned}\]

គណនាផលគុណទ្វេធានឹងទ្វេធា ៖

• a. គុណពង្រាយ \((2x - 3)(4x + 5)\) ៖

  \[\begin{aligned} (2x - 3)(4x + 5) &= 2x(4x + 5) - 3(4x + 5) \\ &= 8x^2 + 10x - 12x - 15 \\ &= 8x^2 - 2x - 15 \end{aligned}\]

• b. គុណពង្រាយ \((3a - 2b)(2a + 5b)\) ៖

  \[\begin{aligned} &(3a - 2b)(2a + 5b) \\ &= 6a^2 + 15ab - 4ab - 10b^2 \\ &= 6a^2 + 11ab - 10b^2 \end{aligned}\]

គុណពង្រាយពហុធានឹងទ្វេធា ៖

គុណពង្រាយទ្វេធានឹងពហុធា ៖

គុណពង្រាយអង្គនីមួយៗ ៖

គុណពង្រាយត្រីធានឹងត្រីធា ៖

គុណជាលំដាប់ពីឆ្វេងទៅស្តាំ ៖

ប្រើរូបមន្តទ្វេធាការ៉េ \((A \pm B)^2 = A^2 \pm 2AB + B^2\) ៖

• a. \((2x + 3)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(3) + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9\)

• b. \((3a - 4b)^2 = (3a)^2 - 2(3a)(4b) + (4b)^2 = 9a^2 - 24ab + 16b^2\)

ប្រើរូបមន្តត្រីធាការ៉េ \((A + B + C)^2 = A^2 + B^2 + C^2 + 2AB + 2BC + 2CA\) ដែល \(A = 2a, B = -b, C = 3c\) ៖

ពន្លាតតាមរូបមន្ត \((A + B + C)^2\) ចំពោះ \(A = x, B = -y, C = 2z\) ៖

ប្រើរូបមន្តផលសងការ៉េ \((A - B)(A + B) = A^2 - B^2\) ៖

ប្រើរូបមន្តផលសងការ៉េជាបន្តបន្ទាប់ ៖

ប្រើរូបមន្តទ្វេធាគូប \((A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3\) ដែល \(A = 2x, B = 1\) ៖

ប្រើរូបមន្ត \((A - B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3\) ដែល \(A = x, B = \dfrac{1}{3}\) ៖

ប្រើរូបមន្តផលបូក និងផលសងគូប ៖

• a. តាម \((A - B)(A^2 + AB + B^2) = A^3 - B^3\) ៖

  \[\begin{aligned} (a - 2)(a^2 + 2a + 4) &= a^3 - 2^3 = a^3 - 8 \end{aligned}\]

• b. តាម \((A + B)(A^2 - AB + B^2) = A^3 + B^3\) ៖

  \[\begin{aligned} (2x + 3)(4x^2 - 6x + 9) &= (2x)^3 + 3^3 \\ &= 8x^3 + 27 \end{aligned}\]

ដាក់ជាផលគុណកត្តាដោយទាញកត្តារួមធំបំផុត ៖

• a. \(3a^2b - 18ab^2 = 3ab(a) - 3ab(6b) = 3ab(a - 6b)\)

• b. \(12x^3y^2 - 8x^2y^3 + 4x^2y^2 = 4x^2y^2(3x) - 4x^2y^2(2y) + 4x^2y^2(1) = 4x^2y^2(3x - 2y + 1)\)

ដាក់ជាផលគុណកត្តាដោយផ្គុំតួ ៖

• a. ផ្គុំជាពីរក្រុម ៖

  \[\begin{aligned} ax + ay + bx + by &= (ax + ay) + (bx + by) \\ &= a(x + y) + b(x + y) \\ &= (x + y)(a + b) \end{aligned}\]

• b. ផ្គុំតួ ៖

  \[\begin{aligned} x^3 - x^2 + x - 1 &= (x^3 - x^2) + (x - 1) \\ &= x^2(x - 1) + 1(x - 1) \\ &= (x - 1)(x^2 + 1) \end{aligned}\]

ដាក់ជាផលគុណកត្តាត្រីធាដឺក្រេទី ២ \(x^2 - 11x + 24\) ៖ ស្វែងរកពីរចំនួន \(p\) និង \(q\) ដែលមានផលបូក \(p + q = -11\) និងផលគុណ \(p \cdot q = 24\)។ ចំនួនទាំងពីរនោះគឺ \(-3\) និង \(-8\) ព្រោះ \((-3) + (-8) = -11\) និង \((-3)(-8) = 24\)។

ពង្រាយរួចរៀបជាត្រីធាដឺក្រេទី ២ ៖

ត្រីធា \(6x^2 + 13x - 8\) មាន \(ac = 6(-8) = -48\) និង \(b = 13\)។ ស្វែងរកពីរចំនួនដែលគុណគ្នាបាន \(-48\) ហើយបូកគ្នាបាន \(13\) គឺ \(16\) និង \(-3\)។ បំបែកតួកណ្តាល \(13x = 16x - 3x\) ៖

កន្សោម \((a - 3)^2 - (a - 3)\) មានកត្តារួមគឺ \((a - 3)\) ៖

ផ្គុំតួ និងប្រើផលសងការ៉េ ៖

តាង \(u = x - y\) កន្សោមទៅជា ៖

ផ្គុំតួបីដំបូងជាទ្វេធាការ៉េ រួចប្រើផលសងការ៉េ ៖

ប្រើរូបមន្តទ្វេធាការ៉េ \(A^2 - 2AB + B^2 = (A - B)^2\) ចំពោះ \(A = x^2, B = y^2\) ៖

ចតុកោណកែងមានបណ្តោយ \(L = 2x + 5\) និងទទឹង \(w = x + 2\) ៖

• a. បរិមាត្រនៃចតុកោណកែង ៖

  \[\begin{aligned} P &= 2(L + w) = 2[(2x + 5) + (x + 2)] \\ &= 2(3x + 7) = 6x + 14\text{ cm} \end{aligned}\]

• b. ផ្ទៃក្រឡានៃចតុកោណកែង ៖

  \[\begin{aligned} S &= L \times w = (2x + 5)(x + 2) \\ &= 2x(x + 2) + 5(x + 2) \\ &= 2x^2 + 4x + 5x + 10 \\ &= 2x^2 + 9x + 10\text{ cm}^2 \end{aligned}\]

គូបមានប្រវែងទ្រនុង \(a = x + 3\) ៖

• ផ្ទៃក្រឡាសរុបនៃគូប (មាន ៦ មុខស្មើគ្នា) ៖

  \[\begin{aligned} S_t &= 6a^2 = 6(x + 3)^2 \\ &= 6(x^2 + 6x + 9) \\ &= 6x^2 + 36x + 54\text{ cm}^2 \end{aligned}\]

• មាឌនៃគូប ៖

  \[\begin{aligned} V &= a^3 = (x + 3)^3 \\ &= x^3 + 3(x^2)(3) + 3(x)(3^2) + 3^3 \\ &= x^3 + 9x^2 + 27x + 27\text{ cm}^3 \end{aligned}\]

វិមាត្រនៃប្រអប់ប្រលេឡូពីប៉ែតកែងគឺ \(L = x + 3, w = x + 2, h = x + 1\) ៖

លំហាត់ PISA - សួនច្បារ ៖ សួនច្បាររាងចតុកោណកែងមានទទឹង \(x\) ម៉ែត្រ និងបណ្តោយ \(x + 5\) ម៉ែត្រ។

• a. កន្សោមបរិមាត្រ ៖

  \[P(x) = 2[x + (x + 5)] = 2(2x + 5) = 4x + 10\text{ m}\]

• b. កន្សោមផ្ទៃក្រឡា ៖

  \[S(x) = x(x + 5) = x^2 + 5x\text{ m}^2\]

• c. ប្រសិនបើ \(x = 10\text{ m}\) ៖

  \[S(10) = 10^2 + 5(10) = 100 + 50 = 150\text{ m}^2\]

លំហាត់ PISA - ប្រអប់ក្រដាស ៖ បន្ទះក្រដាសមានវិមាត្រ \(30\text{ cm} \times 20\text{ cm}\)។ ពេលកាត់ការ៉េជ្រុង \(x\) នៅគ្រប់ជ្រុងទាំងបួន រួចបត់ឡើង ៖ - វិមាត្របាតប្រអប់ ៖ បណ្តោយ \(30 - 2x\) និងទទឹង \(20 - 2x\) - កម្ពស់ប្រអប់ ៖ \(x\)

• a. កន្សោមមាឌនៃប្រអប់ ៖

  \[\begin{aligned} V(x) &= x(30 - 2x)(20 - 2x) \\ &= x(600 - 60x - 40x + 4x^2) \\ &= x(4x^2 - 100x + 600) \\ &= 4x^3 - 100x^2 + 600x\text{ cm}^3 \end{aligned}\]

• b. ចំពោះ \(x = 3\text{ cm}\) ៖

  \[\begin{aligned} V(3) &= 4(3)^3 - 100(3)^2 + 600(3) \\ &= 4(27) - 100(9) + 1800 \\ &= 108 - 900 + 1800 = 1008\text{ cm}^3 \end{aligned}\]

លំហាត់ PISA - ប្រាក់ចំណេញ ៖ ចំណូល \(R(x) = 120x - 2x^2\) និងចំណាយ \(C(x) = 40x + 150\)។

• a. កន្សោមប្រាក់ចំណេញ \(P(x) = R(x) - C(x)\) ៖

  \[\begin{aligned} P(x) &= (120x - 2x^2) - (40x + 150) \\ &= -2x^2 + 120x - 40x - 150 \\ &= -2x^2 + 80x - 150 \end{aligned}\]

• b. ចំពោះ \(x = 20\) ឯកតា ៖

  \[\begin{aligned} P(20) &= -2(20)^2 + 80(20) - 150 \\ &= -2(400) + 1600 - 150 \\ &= -800 + 1600 - 150 = 650\text{ ពាន់រៀល} \end{aligned}\]
  ដូចនេះ ប្រាក់ចំណេញទទួលបានគឺ \(650\,000\) រៀល។

លំហាត់ PISA - ត្រីកោណកែង ៖ ត្រីកោណកែងមានជ្រុងជាប់មុំកែង \(x\) និង \(x + 7\), អ៊ីប៉ូតេនុស \(x + 8\) (\(x > 0\))។

• a. តាមទ្រឹស្តីបទពីតាករ ៖

  \[\begin{aligned} x^2 + (x + 7)^2 &= (x + 8)^2 \\ 2x^2 + 14x + 49 &= x^2 + 16x + 64 \\ x^2 - 2x - 15 &= 0 \end{aligned}\]

• b. ដោះស្រាយសមីការ \(x^2 - 2x - 15 = 0\) ៖

  \[(x - 5)(x + 3) = 0 \implies x = 5 \quad{} (\text{ព្រោះ } x > 0)\]
  ប្រវែងជ្រុងទាំងបីគឺ ៖ - ជ្រុងទីមួយ ៖ \(x = 5\text{ cm}\) - ជ្រុងទីពីរ ៖ \(x + 7 = 5 + 7 = 12\text{ cm}\) - អ៊ីប៉ូតេនុស ៖ \(x + 8 = 5 + 8 = 13\text{ cm}\)

• c. ផ្ទៃក្រឡានៃត្រីកោណកែង ៖

  \[S = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30\text{ cm}^2\]